에너지 상태의 분리와 밴드 형성
처음에 하나의 원자에서는 전자들이 이산적인 에너지 준위를 가집니다. 예를 들어 수소 원자의 경우 1s, 2s, 2p 등의 준위가 존재합니다. 하지만 다수의 원자가 모여 고체를 형성하면 이야기가 달라집니다.
원자들이 가까워지면 각 전자의 파동함수가 겹치며, 에너지 준위가 분리됩니다. 예를 들어 \(N\) 개의 원자가 모이면 각 준위는 \(N\) 개의 미세한 준위로 나뉘게 됩니다. 이 상태가 바로 에너지 밴드입니다.
Kronig-Penney 모델: 왜 금지대가 생기는가
Kronig-Penney 모델은 고체 내 전자가 주기적인 퍼텐셜을 갖는 환경에서 운동할 때, 허용 에너지 밴드와 금지대가 어떻게 생기는지를 설명하는 모델입니다.
이 모델에서 전자가 움직이는 퍼텐셜은 다음과 같이 정의됩니다:
퍼텐셜은 주기 \(a+b\) 를 가지고 반복됩니다. 이 모습은 앞에서 공부했던 에너지 장벽들이 반복해서 존재함을 볼 수 있습니다.
각 영역의 파동함수 해
앞에서도 공부하였듯이 전자는 두 영역에서 서로 다른 퍼텐셜을 경험하기 때문에, 파동함수도 다르게 표현됩니다.
경계 조건 적용
영역 I과 II의 경계인\(x=a\) 에서 파동함수의 연속성과 도함수 연속성을 적용하면, 다음과 같은 복잡한 형태의 조건식이 도출됩니다:
여기서 \(k\) 는 전자의 전체 파동수입니다.
식을 간단하게 하기 위한 가정들
이 조건식은 일반적으로 너무 복잡하므로, 몇 가지 물리적 가정을 통해 단순화합니다.
이 가정은 실제 원자핵 사이의 간격이 매우 좁고, 에너지 장벽이 전자의 에너지보다 상대적으로 크다. 즉, 전자가 튀어나오지 않고 속박되어 있다고 가정합니다.
이러한 극한 가정을 통해 조건식을 다음과 같이 단순화할 수 있습니다:
여기서 \(P\) 는 장벽의 면적에 해당하는 퍼텐셜 세기입니다.
허용된 에너지 조건
이제 좌변은 단순한 삼각함수 \(\cos(ka)\) 입니다.
삼각함수의 범위를 고려하면, 다음 조건이 반드시 성립해야 파동함수가 물리적으로 의미 있는 해를 가질 수 있습니다:
- 이 범위를 만족하는 에너지 \(E\) 만이 허용된 에너지 밴드(allowed band)입니다.
- 이 범위를 벗어난 \(E\) 는 전자가 존재할 수 없는 금지대(forbidden gap)입니다.
위의 조건을 만족하는 구간들 만이 파동함수의 해가 만들어질 수 있으며, 그 구간에서 해당하는\(k\) 값을 가지는 전자만이 허용될 수 있습니다. 양자역학적으로 전자가 존재 할 수 있다는 것입니다. 허용되는 Energy Band와 금지 Energy Band가 반복적으로 생성됩니다.
크로니 페니 모델을 이용한 E-K diagram
이 그래프는 주기성을 가지므로 Shift를 시키면 다음과 같은 모습으로 나타낼 수 있습니다.
아래서부터 전자가 채워집니다. Valence band는 일부분에 전자가 없는 밴드 Conduction band는 전자가 거의 없는 밴드입니다. (정말 소수만 존재하는 밴드, Valence band 위에 존재하는 밴드)
Valence band 아래 band들은 항상 전자가 꽉 채워져 있습니다. 따라서 반도체의 전기적 특성에 기여하지 않습니다.하지만 Valence band와 Conduction band에는 전자가 거의 없거나 조금 비어져 있어서 "전자의 움직임"이 발생합니다. 따라서 전기적 특성에 가장 중요한 밴드임을 알 수 있습니다. 그 사이에 전자가 존재 할 수 없는 밴드를 Energy band gap이라고 하며 \(E_{g}\)로 나타냅니다.
