저번 시간에는 유한한 퍼텐셜 장벽에서 입자의 움직임과 터널링 현상에 대해 알아보았습니다. 입자는 더 이상 단순한 구슬처럼 행동하지 않으며, 파동처럼 퍼질 수 있고, 어떤 경우에는 막혀 있는 장벽을 통과하기도 한다는 것을 확인하였습니다.
이번에는 이 개념을 원자 구조에 적용하여, 수소 원자 내 전자의 상태와 분포, 그리고 우리가 흔히 이야기하는 **오비탈(orbital)**이 무엇인지, 어떻게 정해지는지를 살펴보겠습니다.
핵심 키워드는 슈뢰딩거 방정식, 파동 함수, 그리고 양자수입니다.
전자는 ‘확률적으로’ 존재합니다
수소 원자는 핵(양성자) 하나와 전자 하나로 구성된 단순한 구조입니다.
고전적인 관점에서는 전자가 일정한 궤도를 돈다고 생각할 수 있으나, 양자역학에서는 전자가 어디에 있을지 정확히 알 수 없으며, 오직 확률적으로 예측할 수 있습니다.
이때 전자의 행동을 예측하는 수학 도구가 바로 슈뢰딩거 방정식입니다.
이 방정식의 해인 \( \psi \left ( r,\theta ,\phi \right )\)는 파동 함수라 부르며, 전자가 어느 위치에 존재할 가능성이 큰지를 알려줍니다.
즉, \(|\psi|^2\)는 전자가 특정 지점에 존재할 확률 밀도를 나타냅니다.
파동 함수는 세 방향으로 나뉘어 설명됩니다
수소 원자는 구형 대칭 구조이므로, 파동 함수는 구면좌표계 (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi)로 표현하며, 다음과 같이 분리됩니다.
- : 전자가 중심(핵)으로부터 얼마나 떨어졌는지를 나타내는 함수
- \(\Theta(\theta)\): 전자가 어떤 방향에 위치하는지를 나타냄
- 전체 확률은 \(|\psi|^2 = |R|^2 \cdot |\Theta|^2 \cdot |\Phi|^2\)로 표현됩니다
이 각각의 부분 방정식을 해결하면 양자수들이 등장합니다.
양자수: 전자의 상태를 나타내는 네 자리 주소
슈뢰딩거 방정식을 통해 다음과 같은 네 개의 양자수가 도출됩니다.
| 양자수 | 기호 | 의미 | 가능한 값 |
| 각운동량 양자수 | l | 오비탈의 형태를 결정 | 0 ≤ l < n |
| 자기 양자수 | m | 오비탈의 방향성을 나타냄 | −l ≤ m ≤ +l |
| 스핀 양자수 | s | 전자의 회전 방향 | +½ 또는 −½ |
| 주양자수 | n | 에너지 준위를 결정 | 1, 2, 3, … |
예를 들어, \(n=2, l=1, m=0, s=+\frac{1}{2}\)인 전자는 ‘2p 오비탈의 중심 방향’에 있으며, 시계 방향으로 회전하는 전자라는 뜻입니다.
이 네 개의 숫자 조합은 하나의 전자 상태를 정의합니다.
파울리 배타 원리: 전자는 중복될 수 없습니다
파울리 배타 원리는 양자역학의 핵심 원리 중 하나로, 다음과 같이 설명됩니다.
하나의 원자 안에서, 네 개의 양자수가 모두 같은 전자 두 개는 존재할 수 없다.
즉, 한 오비탈 안에 전자는 최대 두 개까지만 들어갈 수 있으며, 그 두 전자는 반드시 스핀 방향(↑, ↓)이 달라야 합니다.
이 원리에 의해 원자 내부의 전자배치가 결정되고, 그에 따라 원소의 화학적 성질이 정해집니다.
1s 오비탈에는 두 전자가 들어갈 수 있습니다:
→ \(n=1, l=0, m=0, s=+\frac{1}{2}\)
→ \(n=1, l=0, m=0, s=-\frac{1}{2}\)
오비탈: 전자가 자주 머무는 공간의 모양
양자수 중 l과 m은 전자가 어느 모양의 공간에 존재하는지를 결정합니다. 이것이 바로 오비탈(orbital)입니다.
- s 오비탈 (l = 0): 구형, 핵을 중심으로 대칭
- p 오비탈 (l = 1): 양방향으로 퍼진 덤벨 형태
- d 오비탈 (l = 2): 네엽 모양 또는 도넛 형태 등 복잡한 구조
이 오비탈은 전자가 머무는 경로가 아니라, 자주 발견될 가능성이 큰 공간의 모양입니다.
전자배치와 주기율표의 기초
양자수와 파울리 배타 원리를 조합하면, 원소의 전자배치를 예측할 수 있습니다.
예를 들어, 산소(O)는 8개의 전자를 가집니다:
- 1s, 2s 오비탈에는 각각 두 전자가 들어갑니다
- 2p 오비탈에는 총 6자리 중 4개가 채워져 있습니다 (스핀 고려)
이런 전자배치가 화학 결합, 반응성, 전기적 특성 등 거의 모든 물리·화학적 성질을 좌우하게 됩니다.
전자 하나조차, 그 위치와 에너지 상태는 단순하지 않습니다.
슈뢰딩거 방정식을 통해 전자의 행동을 예측하고, 그 결과로 도출된 양자수와 오비탈 개념은 우리가 알고 있는 주기율표, 전자배치, 화학 반응의 이론적 뿌리가 됩니다.
전자는 궤도를 도는 입자가 아니라, 공간 속에 퍼져 있는 확률의 구름입니다.
이 구름은 양자수의 규칙, 파동함수의 해, 파울리 배타 원리에 따라 정해지며, 그 안에 자연의 정교한 질서가 숨어 있습니다.
